This paper defends the Fregean view that logical forms don't contain variables (No Variables!). That is, the logical form of a statement like "Everybody needs somebody", which we'd normally formalize as ∀x∃yR(x,y), contains only the quantifiers ∀ and ∃ and the predicate R, but no variables x and y.

This view is motivated by the so-called Antinomy of the Variable, which Fine (2003) attributes to Russell (1903).

We defend No Variables! by developing a 100% variable-free predicate calculus, which has a fully compositional Fregean semantics, where terms denote objects, predicates denote value-ranges, and sentences denote truth-values. This calculus is formulated using de Bruijn indices, which are common in automated theorem proving, but rather uncommon in philosophy.

We argue that the calculus provides a better guide to logical form than standard Tarskian or Fregean predicate calculi.

I will examine from a logical point of view several conditions, formulated by Dummett, for a contextual definition to be considered legitimate as a “permissible means of introducing an expression” into a Fregean formal language. To this purpose, I will introduce an abstract framework in which all relevant notions are expressed in terms of a primitive relation of logical consequence, along a tradition started by Tarski in the thirties of the last century.

I will examine the mutual relationship between the different Frege-Dummett conditions and, in particular, I will prove a mathematical result about a weakening of the “uniqueness of solution” requirement parenthetically suggested by Dummett in the following passage taken from "Frege: Philosophy of Language" (1981, 2nd ed., p. 653):

"(We might, however, relax the requirement of a unique solution in cases in which different solutions would still yield the same truth-value for each sentence in which the expression was going to occur.)"

I will next use the interpretation of the first-order fragment of Frege’s classical logic into the standard Tarskian semantics to contrast Dummett’s suggestion with the standard theory of definitions centred around Beth’s definability theorem.

Das platonistische Lager besteht in Opposition zum Konstruktivismus auf der absoluten Unabhängigkeit der Zahlen, Propositionen und überhaupt der objektiv-nichtwirklichen Entitäten vom Vollzug ihres Gedachtwerdens. Ich weise erstens nach, daß Freges Begriff der Logik sowohl den Platonismus in Bezug auf die GedankenF als Gegenstand der Logik als auch die Rechtfertigung der Prinzipien der Logik erforderlich macht. Zweitens weise ich nach, daß die von Frege erwogenen Rechtfertigungsstrategien mit Notwendigkeit scheitern, da er sich durch die strikte Trennung der Gegenstände der Logik von jedem Vollzug ihres Gedachtwerdens der Möglichkeit verschließt, Reflektionen auf Handlungspräsuppositionen als Rechtfertigungsmittel heranzuziehen. Dieser Vortrag ist insofern nicht nur eine Kritik des fregeschen Begriffs der Logik, sondern auch allgemein eine Kritik des platonistischen accounts von allein durch Handlungsreflektion erkennbaren Gegenständen.

Das von Gottlob Frege 1879 in der Begriffsschrift unter dem Titel ‚Tafel der Gegensätze‘ präsentierte logische Quadrat wirft eine Reihe von Fragen auf: Warum bezeichnete Frege sowohl das Verhältnis zwischen A- und E-Urteil aus auch das zwischen I- und O-Urteil als konträr? Weshalb kommt in Freges Darstellung 1879 die als ‚subaltern‘ bezeichnete Relation zwischen allgemeinem und partikulärem Urteil noch vor, aber nicht mehr in Carnaps Mitschriften von Freges Vorlesung über Begriffsschrift aus dem Wintersemester 1910/11? Ging der frühe Frege noch von einer intensionalen Auffassung der Begriffsverhältnisse aus, der spätere dagegen nicht? Lassen sich Freges Ansichten und Bezeichnungsweisen als an der Tradition orientiert bezeichnen und mit denen anderer Logiker seiner Zeit in Zusammenhang bringen? Ich möchte einige der Argumente zur Beantwortung dieser Fragen überdenken und eine mögliche Lesart der logischen Sanduhr präsentieren, die vielleicht zugleich als Antwort auf diese Fragen verstanden werden kann.